25 Aralık 1981 tarihinde Ankara’da doğdu. Altı yaşında oyunculuğa başlayan Levendoğlu, Saint-Benoît Fransız Lisesi’nden mezun oldu. Yükseköğrenimine İstanbul Bilgi Üniversitesi Görsel İletişim Tasarımı bölümünde başladı ve ardından İstanbul Kültür Üniversitesi Oyunculuk bölümünden mezun oldu. Yönetmen Mustafa Altıoklar’ın yeğeni olan Levendoğlu, ilk oyunculuk deneyimlerini Altıoklar’ın projelerinde edindi.
Levendoğlu’nun televizyon kariyeri 2003 yılında Lise Defteri dizisinde Mehmet karakteri ile başladı. Bunu 2004’te Çınaraltı (İbrahim) ve 2005–2008 yılları arasında Emret Komutanım (Üsteğmen Levent) dizileri izledi. 2007’de Zeliha’nın Gözleri (Rehan), 2008–2009’da Gece Gündüz (Aslan), 2009’da Altın Kızlar ve Uygun Adım Aşk, 2010’da Kirli Beyaz (Yekta) ve Kalp Ağrısı (Hasan) dizilerinde rol aldı. 2011–2012’de Mor Menekşeler (Akif), 2012’de Atlılar, 2013’te Sakarya Fırat (Altan), 2014’te Galip Derviş ve Böyle Bitmesin dizilerinde oynadı.
Sarp Levendoğlu, 2002 yapımı O Şimdi Asker filmi ile sinema kariyerine adım attı. 2007’de Emret Komutanım: Şah Mat filminde yer aldı. 2016’da Deliormanlı filminde Savaş karakterini canlandırdı. Ayrıca Resimdeki Sevgili, Adam ve Çocuk, 2017 yapımı Nereden Nereye ve 2018 yapımı İki İyi Çocuk filmlerinde oynadı.
Oyunculuğun yanı sıra yönetmenlik de yapan Levendoğlu, Emret Komutanım ve Gece Gündüz dizilerinin bazı bölümlerinde yönetmen olarak görev aldı.